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Ahora bien, cuando X, 7, Z cumplen con tales condicio- 

 nes la ecuación diferencial puede integrarse, y su integral 

 tiene esta forma 



U= r X{x',y,z)dx'-^ r Y{x„y',z)dy'^' 

 + I {Zx^,y^,z')dz\ 



JZa 



en que Xq, y^, Zq son tres constantes arbitrarias, y en que las 

 variables de la integración se representan por x', y', z. 



La demostración la encontrarán mis alumnos en cualquier 

 tratado de cálculo integral, y nosotros nos limitaremos á una 

 comprobación que en rigor equivale á una demostración á 

 posteriori. 



Es decir, que vamos á diferenciar U con relación á ;c, y en- 

 contraremos X. 



Luego diferenciaremos, con relación á j;, y encontrare- 

 mos Y, y por último diferenciaremos, con relación á z, y 

 encontraremos Z. 



Diferenciemos por relación á x, y observando que esta 

 variable no entra en los dos últimos términos, tendremos: 



dU v . V 



-— = X (X, y, z). 



dx 

 Diferenciando, con relación á y, resulta 



dU 

 dy 



J^ " dX (x', y,z).,,.,. . 

 ^ /^' ^ dx + r (Xo, y, z); 

 dy 



ó bien, puesto que 



dX dV 



dy dx ' 



\=r^d^A-Y 



dy 



dU rdY ^^,^ Y{x,,y,z) = Y(x, y, z) - Yix^j^z) + 

 A dx 



+ Y(Xo,y,zX 



