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TABELLA dei gruppi d'omologie piane. - 
GRUPPI i ELEMENTI LARE di 
h' Tutte le rette d'un Di ed una retta arbitraria del 
piano. i 
hî ‘Tutte le rette d’un fascio ed un punto arbitrario del piano. 
DI Tutti i punti d'una retta ed una retta arbitraria del piano. 
hi Tutte le rette d’un fascio 
ho | Tutti i punti d’una retta. 
Passiamo ora ai gruppi bilaneari co, d’ omografie generali. 
Osserviamo anzitutto ch’ essi potrebbero ottenersi scartando dalla 
tabella di tutti i gruppi proiettivi del piano data da Lie quelli 
le cui omografie non formano un sistema lineare (1), od anche 
dalla tabella di NEWSON (2), in cui i gruppi che c’ interessano 
costituiscono la 1.* classe del /.° dei suoi tipi. 
Ma questo procedimento non potrebbe applicarsi allo spazio, 
ove manca la classificazione di Lie di tutti i gruppi proiettivi, 
perciò cercheremo di costruire direttamente i gruppi bilineari del 
piano con un metodo estendibile al campo delle 3 dimensioni. 
Muoviamo dal seguente teorema generale di Lie: Un gruppo 
proiettivo del piano, che non sia il gruppo totale (9°), lascia fisso 
un punto o una retta od una conica non degenere (3). È 
I gruppi proiettivi che lasciano fissa una conica non sono bdi- 
lineari. Infatti, se ta, 13 sono due omografie del gruppo e P un 
punto della conica invariante, il fascio |a, mo] trasforma P nei 
punti d’ una retta: ciò vuol dire che al gruppo della conica non 
appartengono le omografie di | ta, 4] e, conseguentemente, che 
il gruppo della conica non è bilineare. ARS 
(1) Theorie der Transformationsgruppen, Bd INI; p. 106-107. I gruppi 
bilineari sono quelli contrassegnati coi numeri 1, 2, 3, 6, 10, 11, 12, 20, 31. 
(2) A New Theorie of Collineations and their Lie Groups; American 
Journal of Mathematics, V.. XXIV (1902), p. 196. i 
(3) Cfr. Lie, op. cit., Bd. III, p. 94. 
