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I gruppi proiettivi con una retta invariante mediante una cor- 
relazione del piano si trasformano in gruppi proiettivi con un 
punto invariante: basterà dunque determinare tutti i g”.con un 
punto invariante. 
Sia dunque g” un gruppo bilineare col.punto invariante 0. 
Nel fascio O viene subordinato un gruppo 9g”, la cui dimen- 
sione r è legata alla dimensione s del sottogruppo invariante hs delle 
omologie di centro O e contenuto in g”:dalla relazione vr + s = n. 
Se si osserva poi che i gruppi g” ed hs hanno almeno la di- 
mensione 1 ed al più la dimensione 3 avremo: 
2<n<r+3<6 
Sicchè: 
a) I gruppi bilineari d’ omografie E generali io al- 
meno la dimensione 2. 
_ b) LZ gruppi g che subordinano nel fascio O un g” LOT 
le las TP+1Ll,rkt2,r+83. 
Dato g” sono pienamente determinati g” ed h°. Il sottogruppo 
hs ha come invariante il punto O, tutte le rette per O ed even- 
tualmente un’ altra retta od un altro punto: di questi elementi 
non sono invarianti per g* le rette del fascio O; sono invece in- 
varianti il punto O e l'eventuale retta o punto sopra accennati. 
Il sottogruppo g”* ha come invarianti due, una, nessuna retta per 
O, secondo che la sua dimensione r è 1, 2, 3. Queste rette inva- . 
rianti per 9g” sono, evidentemente, invarianti per gr, e insieme 
agli altri elementi invarianti di g” incontrati sopra costituiscono 
quello che chiameremo sistema d’ elementi invarianti del gruppo 
bilineare. i 
Sussiste ora il teorema: 
Un gruppo bilineare di omografie generali del piano che 
lascino fisso un punto è caratterizzato dal suo sistema d’ elementi 
invarianti. 
Dimostriamo il teorema esaminando separatamente i vari casi 
che si presentano a seconda dei valori di r e di s. 
«Bene =:3; sha imc, 91. 
Allora g* ha due rette invarianti per O 5 hs una retta in- 
variante che non passa, in generale, per O. Il sistema d’ elementi 
invarianti di g* è composto di tre rette non passanti per uno 
stesso punto. Viceversa, tutte le omografie che lasciano fisso un 
triangolo compongono un g?. 
