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Per: n:==:8'si bha =.;14,8="2i ovvero 2; seni 
Nella 1.° ipotesi sono invarianti per g* due rette per O ed 
un punto su una di esse, generalmente diverso da 0; nella 2.° 
sono invarianti O, una retta per O ed uv’ altra retta del piano, 
generalmente diversa dalla precedente. Tanto nell’ una quanto 
nell'altra ipotesi si perviene allo stesso sistema di elementi in- 
varianti. Viceversa, tutte le omografie che lasciano fissi gli ele- 
menti di questo sistema formano un g?. 
Per n=4 si har=1,s=3;ovveror=2,s = 2;0, final- 
mente; mi=è, s.= i 
Nella 1.* ipotesi il g* ha due rette invarianti per 0; nella 
2° il punto O, una retta per O e un altro punto su questa 
retta invarianti; nella 3.8 il punto O ed una retta non passante 
per O invarianti. Viceversa, tutte le omografie piane che lasciano 
invarianti gli elementi dell'uno o dell’altro dei predetti sistemi 
formano un g!. 
Per n —=5 si possono fare le due ipotesi vr —2, s= 3; 
=D 
La 2.8 si scarta subito osservando che h® dovrebbe avere un 
punto invariante. Se tale punto fosse distinto da O la retta che 
lo proietta da O sarebbe invariante pel g7, il quale dovrebbe 
perciò avere una dimensione minore di 3, contro l'ipotesi. Se poi 
coincidesse con O tutte le omografie del gruppo sarebbero speciali, 
con 2 punti uniti infinitamente vicini in O. Ma le omografie del 
tipo in discorso, che sono in tutto 005, non formano un sistema 
lineare. 
La 1.% ipotesi corrisponde ad un g° per cui sono invarianti 
il punto O ed una retta per esso. Viceversa, tutte le omografie 
che lasciano invarianti un punto ed una retta che s’appartengono 
formano un g?. 
Per n = 6 si ha il g° di tutte le omografie piane che lasciano 
fisso O e. viceversa. i 
Con ciò è dimostrato che i gruppi bilineari d’ omografie piane | 
generali che lasciano fisso un punto sono pienamente caratteriz- 
zati dal sistema d’ elementi invariati. Traducendo per dualità questo 
risultato il teorema si estende ai gruppi bilineari con una retta 
invariante, cioè a tutti i gruppi bilineari che non siano il gruppo 
totale. i 
