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condizioni a cui debbono soddisfare le omografie di un G" che 
trasforma in se stesso un complesso lineare non speciale. | | 
Se Ta; Ts sono due omografie di G”, ogni omografia del fascio 
[ Ta, tr] che esse definiscono, appartenendo a G”, trasformerà in sé' 
stesso il complesso. Sicchè un punto qualunque O dello spazio 
verrà trasformato dalle omografie di [7ta, tè| nei punti d’una retta 
o ed il piano polare di O nei piani polari dei punti di o. Ma in un 
complesso lineare i piani polari dei punti d’ una retta passano per 
una retta, quindi le omografie di [tt,, 72| trasformano un piano 
qualunque dello spazio nei piani d'un fascio. Da ciò si deduce 
che | ra, m»] è un fascio invertibile (1). 
Consideriamo, in particolare, il fascio definito dall’ identità e 
da una omografia x di G». Il fascio [1, mr], essendo invertibile, 
sarà composto con omologie od omografie biassiali. Sicchè: 
L’ omografia generica d’ un gruppo bilineare che trasforma 
in sè stesso un complesso Ware non speciale è omologica ovvero 
biassiale. i 
Passiamo a ricercare le condizioni a cui debbono soddisfare 
le omografie d’ un G” che ammetta una superficie F non piana 
invariante. Se M è un punto di F tutte le omografie di G® tra. 
sformano M nei punti d’ una retta passante per M, la quale ri- 
sulta invariante per Gr. Dunque: 
Le superficie non piane trasformate in sè stesse da un gruppo 
bilineare di omografie spaziali sono rigate. © î 
E poiché le generatrici di queste rigate sono invarianti per 
tutte le omografie di Ge segue che: 
Il gruppo bilineare che trasforma in sè stessa una super» 
Fflcie non piana: hi l’emografia generica omologica ovvero biassiale. 
Passiamo, intine, ai gruppi che trasformano in sè stessa una 
linea. Ragionando come si fece pei gruppi d’ omografie piane che 
trasformano in sè stessa una conica si conclude che: 
Nessuna linea, che non sia la retta, può essere invariante 
per le omografie d’ un gruppo bilineare dello spazio. i 
Da quanto precede risulta che i gruppi bilineari dello spazio 
possono ridursi ai seguenti tipi: 
a) gruppi bilineari d’ omologie ; 
b) gruppi bilineari d’ omografie biassiali ; 
c) gruppi bilineari d’ omografie assiali; 
(1) Cfr. le mie « Ricerche » nel Periodico di Ri) Vol. V (1908 
p. 282. UE /. 
