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d) gruppî bilineari d' omografie generali con un punto od 
un piano invariante ; 
e) gruppi bilineari d’ omografie generali con una retta in- 
variante; 
f) gruppo totale delle oo!° trasformazioni proicttive dello 
spazio. 
Sicché, volendo determinare i caratteri dei gruppi bilineari 
.d’omografie generali dello spazio basterà considerare il caso in 
cui G” ammetta un punto invariante e quello in cui ammetta una 
retta invariante, perchè i gruppi bilineari dotati d’ un piano in- 
variante si trasformano, mediante una correlazione spaziale, in 
gruppi bilineari dotati d’ un punto invariante. 
Gruppi bilineari d’omografie generali con un punto invariante. — 
Il punto invariante sarà designato con O, il gruppo bilineare su- 
bordinato da G" nella stella O sarà designato con g”, e con Hs il 
sottogruppo invariante delle omologie spaziali di centro O. Fra 
le dimensioni r, s ed n passa la relazione r + s= n. Inoltre, per 
le ipotesi fatte intorno alle omografie di Gr, le omografie di gr deb- 
bono essere generali, per cui 2<r <8. Riguardo poi alla dimen- 
sione di H* è chiaro che: 1<s <4. Quindi: 
S<n<r+4< 12. 
Di quì si trae che: 
a) I gruppi bilineari d' omografie ana dello spazio de 
tati d'un punto invariante hanno come dimensione minima 3 e 
massima 12. 
b) / gruppi G che subordinano nella stella O un g* hanno 
le dimensioni r P1,r+2,r+3,r+4. 
Dato G” sono pienamente determinati gr. ed H*. Il sottogruppo 
invariante Hs, oltre tutti gli elementi della stella 0, ha come in- 
variante un piano se s=1, una retta se s—=2, un punto se 
s=3, nessun altro elemento se s=4. Questo piano o retta o 
punto sono anche invarianti per Gr, mentre per G” non sono in- 
varianti tutti gli elementi della stella O. Il gruppo subordinato g”, 
tranne il caso r =8, ha qualche retta o piano invariante per 0. 
È chiaro che gli elementi invarianti di gr sono invarianti per G”. 
Il punto O, gli elementi invarianti per gr e l'eventuale piano 
o retta o punto sopra accennati invarianti per Hs costituiscono 
quello che chiameremo sistema d’elementi invarianti del gruppo 
bilineare. 
