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Sussiste ora il teorema: 
Un gruppo bilineare di omografie generali dello spazio che 
lascino fisso un punto è pienamente caratterizzato dal sistema 
d’elementi invarianti. 
La dimostrazione si ottiene seguendo il metodo sviluppato per 
l'analogo teorema sui gruppi bilineari di omografie piane. La di- 
scussione dei vari casi che si presentano a seconda dei valori 
numerici di r ed s conduce poi a costruire effettivamente tutti i 
tipi di gruppi della forma richiesta. | 
Traducendo per dualità il teorema enunciato se ne ottiene 
l'estensione ai gruppi bilineari dotati d’un piano invariante. 
Gruppi bilineari di omografie generali con una retta invariante. — 
Escludiamo, una volta per sempre, che G» abbia qualche punto o 
piano invariante, per non ricadere nei casi precedenti. Allora, 
se r è la retta invariante per G", il sottogruppo invariante di 
omografie binarie subordinato su r è oo8. Altrettanto dicasi per 
l’altro sottogruppo invariante subordinato nel fascio di piani di 
asse r. Tutte le omografie di G” che subordinano su r l'identità 
sono allora 0073 e formano il sottogruppo invariante G"73 di omo- 
grafie assiali di asse r contenuto in Gr. Questo G?73 subordina 
nel fascio di piani r un gruppo g* di proiettività binarie, che non 
può avere la dimensione zero perchè non tutte le omografie di G®7® 
sono biassiali, che non può avere la dimensione 1, nè 2 perchè 
allora G?73, e quindi G", avrebbe qualche piano invariante. Allora 
s=3 ed n—3> 4. Segue che: 
I gruppi bilineari d’omografie generali dotati d'una retta 
invariante e non di punti o piani invarianti hanno almeno la 
dimensione 1. î 
Le omografie biassiali di asse rv e contenute in Gr formano 
un sottogruppo invariante G*-* tanto di G® quanto di G"73. I tipi. 
possibili di gruppi bilineari di omografie biassiali con un asse in 
comune sono i seguenti: 
gruppo co° , costituito dall’identità; 
gruppi col , per cui, oltre gli elementi (punti e piani) di 7, è 
invariante un’altra retta s; 
» o0° , per cui, oltre gli elementi di 7, sono invarianti le 
generatrici d’ una quadrica; 
» 003 , per cui, oltre ecc., sono invarianti: 
RR ICI RAZIARORAN 
vasta 
