A 
diedro variabile, le facce intermedie sono quelle che comprendono 
il diedro modio. Le facce di un tetraedro normale sono tutte trian- 
goli rettangoli e in generale Schlafli prova che le facce (peri- 
schemi) di un ortoschema sono tutte ortoschemi. Le formule di 
riduzione dei volumi dei plagioschemi d’ordine dispari a volumi 
di plagioschemi d’ordine pari subisce pel caso degli ortoschemi 
d’ordine dispari una notevole semplificazione, poichè si presenta 
come un aggregato di volumi di ortoschemi o di prodotti di vo- 
lumi di ortoschemi d’ ordine pari e con coefficienti numerici ‘molto 
semplici. 11 calcolo del votume di ogni plagioschema può poi esser 
ridotto a quello dell’ ortoschema generico dello stesso suo ordine 
perchè l’ A. dimostra che ogni plagioschema d’ordine n è un aggre- 
gato ben determinato di n/ ortoschemi dell’ ordine n positivi, nulli 
o negativi aventi un vertice in un punto comunque assegnato sul- 
l’ipersfera. Le ingegnosissime determiuazioni del volume di di- 
verse particolari categorie di ortoschemi d’ordine pari occupano 
parecchie pagine di questa parte dell’opera ma non possono essere 
qui nemmeno sommariamente accennate. Per ciò che mi riguarda in 
materia di ortoschemi dirò solo che il tetraedro normale è stato il 
fondamento della soluzione da me data del problema della deter- 
minazione del volume del tetraedro nell'ipotesi non euclidea; in- 
fatti io ho dapprima determinato il volume del tetraedro elemen- 
tare, cioè di quel particolare tetraedro normale che è due volte 
asintotico (e perciò ha i due diedri laterali uguali fra loro e 
complementari del medio), per mezzo di uno sviluppo (valido in 
tutto il piano complesso) in serie di funzioni esponenziali del suo 
diedro laterale (Ace. di Torino, l. c.); e poscia ho espresso (Period. 
di Mat., 1. c.) effettivamente il volume di un tetraedro normale 
reale arbitrario come metà di un aggregato di otto tetraedri ele- 
mentari ben determinati, i quali hanno diedri calcolabili trigono- 
metricamente in funzione dei diedri del dato e riescono poi o tutti 
reali o tutti immaginari a seconda che vale l’ ipotesi iperbolica o 
l’ ellittica. 
Schlafli estende la formula differenziale fondamentale dei 
plagioschemi ai polischemi, ma osserva che gli argomenti (diedri) 
di un polischema non sono in generale indipendenti, cosicchè i 
coefficienti dei differenziali dei diedri nel secondo membro non 
hanno in generale il significato di quozienti differenziali del vo- 
lume del polischema rispetto ai corrispondenti diedri. Fa però ec- 
cezione come osserva lo stesso A. (pag. 108 della « Theorie » 
e 391 del T. XX del .Journal di Liouville) il caso dei poliedri 
