Dr Riesz, Sur le principe de Phragmm-Lindelof 20 5 



Sur le principe de Phragmen-Lindelqf. Par Marcel Riesz. 

 (Extrait d'une lettre adressee a M. G. H. Hardy.) 



[Received 29 July 1920.] 



1. La lecture attentive de votre travail recemment paru dans 

 les Acta Mathematical et de ceux de MM. Phragmen et Lindeloff, 

 P. PerssonJ, F. Carlson ^, etc., me fait croire que le theoreme suivant 

 n'a jamais ete observe. 



Si lafonction g {z) holomorphe dans le demi-plan R {z) ^0 {sauf 

 peut-etre a Vinfini) y satisfait a Vinegalite 



(1) I S' (2) I < Cie^'- {r=\z\) 

 et sur Vaxe imaginaire a celle-ci 



(2) \9{^)\< C^e-^\ 



Cj, 6*2, k et I designant des constantes positives, cette fonction s'an- 

 nidera identiquement. 



Ce theoreme rend la premiere demonstration dans votre travail 

 beaucoup plus simple qu'elle ne I'etait. Vous le verrez dans un 

 instant. Mais demontrons d'abord le theoreme lui-meme. II 

 decoulera immediatement des principes generaux de MM, Phrag- 

 men et Lindelof. 



Formo2is la fonction 



(2) = e'^'g (z), 



CO designant un nombre positif . Designons par C le plus grand des 

 nombres C\ et C^. Sur I'axe reel positif on aura d'apres (1) 



I (3) I < C'e('"+«) '• 

 et sur I'axe imaginaire 



I e/r (2) I < C'e-^'-. 

 II s'ensuit d'apres un theoreme connu de Phragmen-Lindelof ||, 



* G. H. Hardy, "On two theorems of F. Carlson and S. Wigert," Acta Mathe- 

 matica, t. 42, 1920, pp. 327-339. 



t E. Phragmen et Ernst Lindelof, "Sur une extension d'un principe classique 

 de r Analyse et sur quelques proprietes des fonctions monogenes dans le voisinage 

 d'un i^oint singulier," Acta Mathematica, t. 31, 1908, pp. 381-406. 



X Paul Persson, "Recherches sur une classe de fonctions entieres," These pour 

 le doctor at, Upsal, 1908. 



II F. Carlson, "Sur une classe de series de Taylor," These pour le doctorat, 

 Upsal, 1914. 



II Loc. cit., pp. 393-394; an explicit proof of the particular result required is 

 given by H. Cramer, "Sur une classe de series de Dirichlet," These pour le doctorat 

 (Stockholm), Upsal, 1917, pp. 34-36. 



