206 Dr Riesz, Sur le principe de Phragmen-Lindelof 

 <f) designant un nombre arbitraire situe entre — ^ et ^ , 



\i}j(z)\< Ce^-^l*^"*! + (o) + /) cos <i>) r 



On aura done, 8 etant cboisi assez petit, pour (/> = ± L^ — 8J, 



(3) (z) < C, 



inegalite valable aussi sur I'axe imaginaire. En appliquant eneore 

 une fois le tkeoreme en question de Phragmen-Lindelof aux angles 



I-I + Z), (~i + S,|-8) et (|-S,|) 



tons moindres que tt, on voit que (3) subsiste dans tout le demi- 

 plan. C'est a dire, dans tout ce demi-plan, 



(4) I g {z) e"^ \<C. 



En tout point interieur au demi-plan, on a | e^ | > 1. On 

 conclut done de (4), en faisant tendre to vers Tinfini, 



9 (2) = 0. 



2. Appliquons ce resultat a demontrer le theoreme de M. Carl- 

 son. 



Si f {z) = / (re^^) est holomorphe dans V angle — a ^ 6 ^ a, oil 



a^^, et y satisfait a V inegalite 



1/(2)1 <Ae^^- {p<7T), 



et f{n)^0 (w = 0, 1, 2, ...), 



alorsf{z) s^annide identiquement. 



f (z) . . 

 En effet, la fonction ci (z) = -. — - satisfait aux hypotheses du 



numero precedent, par suite elle est identiquement nulle. Quant a 

 la condition (2), cela est evident. En ce qui concerne (1), on 

 trouve les elements d'une demonstration rigoureuse dans votre 

 travail ci-mentionne (p. 329). (En realite, votre demonstration en 

 question du theoreme de M. Carlson presente une petite lacune. 

 Pour pouvoir appliquer le theoreme de Phragmen-Lindelof, vous 

 auriez du demontrer que pour tout angle — a + S^^^a — S, il 

 y a une majorante (une certaine fonction exponentielle) qui depend 

 seulement de r. Vous demontrez seulement que + 1 (^) = ^ sur 

 chaque vecteur issu de I'origine, sans vous preoccuper de I'uni- 

 formite.) 



Voila une autre application de ce theoreme, M. Cramer a 

 deduit d'un beau theoreme qui lui est du, le corollaire qui suit*. 



* H. Cramer, "Un theoreme sur les series de Diriclilet et son application," 

 Arhiv for Matematik, Aslronomi och Fysik, t. 13, No. 22, 1918, pp. 1-14 (p. 12). 



