Dr Biesz, Sur le principe de Phragmen-Lindelof 207 



Si le module de la fonction entiere </> (z) finit par rester inferieur 

 a e^^^' , oil k > 0, il y a sur chaque vecteur issu de Vorigine une 

 infinite de points aux modules indejiniment croissants pour lesquels 



\<f>{z)\ >e-(^ + e)kl 



et cela a lieu pour tout e > 0. 



L'application du theoreme demontre au debut a la fonction 

 g (z) =^ <f) (z) (f) {— z) donne de suite le resultat de M. Cramer. 

 D'ailleurs il est facile de deduire ce resultat directement du 

 theoreme fondamental de Phragmen-Lindelof que nous venons 

 d'appliquer. 



3. Un corollaire immediat de notre theoreme est encore le 

 suivant. 



Une fonction g (z) qui est liolomorphe dans un angle d'etendue 

 ^7T et y satisfait a Vinegalite 



\g{z)\< Ce-^- {h > 0) 



s^annule identiquement. 



Par une substitution de variable on en obtient immediatement : 

 Soit O {x) une fonction analytique de la variable complexe x = re** 



qui jouit des proprietes suivantes: 



1°. Elle est holomorphe a Vinterieur et sur le contour d'un domaine 



T renfermant V angle — ^- ^ </> — ^o ^ ^, sauf peut-etre certaines 



parties de cet angle situees a Vinterieur d'un cercle autour de Vorigine. 

 2°. A Vinterieur et par suite au contour de ce domaine, on a 



(5) I 0) (x) I < Ce-^''", 



C et k etant des constantes positives. 



Dans ces conditions, on a identiquetnent O {x) = 0. 



Le meilleur theoreme de ce genre fut jusqu'ici, a ce qu'il semble, 

 un theoreme de M. Paul Persson demontre dans sa these [I.e. p. 8) 

 et cite in extenso dans la these de M. Carlson (I.e. p. 36). Chez 

 M. Persson, la condition 



I <1) (x) I < e-« ('■)»•", lim v{r) ^ oo 



figure au lieu de (5). 



J' = 00 



