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otra ocasión hemos dicho; cuando definíamos lo que llamá- 

 bamos una integral primera de las ecuaciones del movimien- 

 to ó de Hamilton, 



Cada una de las ecuaciones 



■^■iiQi, ^2 qk,Pup2 Pk, t) --= a i 



del sistema (Y) es precisamente esta ecuación que llamába- 

 mos integral primera. 



Y decíamos: conocer 2k integrales primeras es tener re- 

 suelto el problema, porque de estas 2k ecuaciones se pue- 

 den deducir en función del tiem.po y de las constantes arbi- 

 trarias las p y las q. 



Conocer algunas de estas integrales primeras no es resol- 

 ver el problema; pero es estar en camino de resolverlo; es 

 facilitar la solución. 



Precisamente este es el caso del teorema de Liouville, que 

 vamos á demostrar. 



Se supone que han podido obtenerse, no las 2A: integra- 

 es primeras, pero sí la mitad; es decir, k integrales primeras. 



Con esto no basta para resolver el problema; pero si es- 

 tas k integrales primeras satisfacen á ciertas condiciones, que 

 vamos á explicar, entonces sí, el problema puede resolverse 

 y puede resolverse por cuadraturas. 



El obtener integrales primeras muchas veces no es difícil; 

 por ejemplo: la ecuación de las fuerzas vivas, la ecuación de 

 las áreas son integrales primeras, y en ciertos casos por 

 ciertos artificios se encuentran algunas más, y aun podían 

 hallarse por el teorema de Poisson. 



Por ahora mantengámonos en la generalidad ya expresa- 

 da, y formulemos de una vez el teorema del célebre mate- 

 mático. 



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