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Teorema de Liouville. — Puede enunciarse de este modo: 

 Si se conocen k integrales primeras 



«I = í?! , «o = a.y o.f, = ttk 



y si además estas integrales satisfacen todas ellas dos á dos 

 al paréntesis de Poisson dando un resultado igual á cero; es 

 decir, si las funciones a satisfacen idénticamente á esta se- 

 rie de condiciones 



('^•1, '^2) = o («1, 7.3) = o (cíi, y.^) = O 



C^-2, ='3) = O (a,, a^) == ü 



el problema podrá resolverse por completo y se podrán 

 obtener las k integrales restantes por medio de cuadraturas. 



Fijemos bien las ideas y precisemos los términos. 



Cada una de las funciones a contendrá las cantidades que 

 se expresan á continuación: en 



'^■i (Qi , ^2 Qk, Pv P-2 Pk) = ai 



entran, pues, las p y las q, pero no entra f. 



Las condiciones expresadas por el paréntesis de Poisson 

 serán éstas, y tomamos la primera condición, pero lo mismo 

 sería de otra cualquiera, 



(«i,«2) = o; 



que según la significación que tiene dicho paréntesis de 

 Poisson, será 



s'^Vi^i^^ '^l^-\=.o {i=\,2 k). 



/=i\ dQi dp¿ dpi dqi ) 



Como hemos dicho que las a son funciones de las p y q, 



Rev. Acad. db Ciencias. — Xll. — Julio, Agosto y Septiembre, 1913. 2 



