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y en vez de emplear una letra nueva empleamos la misma 

 letra p como símbolo de función. 



Nos proponemos ahora probar, y esta es la clave de la 

 demostración, que si se forma la ecuación diferencial total 

 de una función W de las q^, q^ qk como variables inde- 

 pendientes, es decir, 



d W= p, {q„ q, q^) dq, + p, (q„ q, q;,) dq, + 



+ +Pk{qx,Qi qk)dqt', 



ó abreviadamente, y recordando siempre que las p en esta 

 ecuación diferencial se consideran como funciones de las q, 

 y, por decontado, de las constantes a, 



d 1f = p^ dq, + p, dq. + p„ dq^; 



esta ecuación diferencial, repetimos, será una ecuación dife- 

 rencial total exacta (así la llaman algunos autores). O de 

 otro modo: que siempre existirá una función W, á saber: 



W= W(q^, q, qk, a^ a, Ok) 



que satisfará á dicha ecuación diferencial; y que esta fun- 

 ción W se podrá encontrar por cuadraturas. 



Para que la ecuación diferencial total precedente sea 

 exacta, es decir, para que exista una función W que susti- 

 tuida en ella la convierta en una identidad, hemos demostra- 

 do también en la conferencia precedente, que deben verifi- 

 carse una serie de condiciones, que consisten en que, to- 

 mando dos coeficientes cualesquiera, p^, pm en dos términos 

 Pn ^Qn, Pm d^ m se verífiquc idénticamente, 



dPn dpm 



dqm dqn 

 sean cualesfueren los valores de /t? y n entre 1 y k. 



