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 Ó bien recordando lo que U significa 



para todas las combinaciones de los subíndices m, n, del 

 cuadro (K), de donde deduciríamos, como ya anunciamos, 

 que 



en que las p son funciones de q, es una diferencial exacta de 

 estas variables; que era la primera parte de la demostración 

 del método de Liouville y á cuyo término se dirigían nues- 

 tros esfuerzos. 



Pero la demostración no sería rigurosa mientras no probá- 

 semos que A era distinta de cero. 



Esto es lo que vamos á hacer, pero dando en cierto modo 

 un rodeo y siguiendo en este punto la exposición de mon- 

 sieur Laurent en su Mecánica. 



Volvamos casi al punto de partida, es decir, á la ecuación 



^/ ag,- dy.j da.j 3a,- \/ 3pn ^P/n \ q 



\ ^Pn ^Pm ^Pn ^Pm A ^^/n ^Qn ) 



en que ya recordarán mis alumnos que /, j permanecen fijos, 

 y m, n varían en los diversos términos de S, dentro, por de- 

 cirlo así, del triángulo de la derecha en la figura 3. Es decir 

 que m y 72 no reciben todos los valores de 1 á /:. 

 Pues consideremos esta otra 11 



V 



dc/.i cirj.j /dpj^ ^Pm\ /m = \,2 k 



^Pn ^Pm\^qm ^Qn) \ 12=1,2 k 



en que /, y, permanecen constantes en todos los términos; 

 pero en que m varía de 1 á A:, y asimismo n varía entre 1 y k 

 también. 



