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Luego toda la suma del cuadro (S) se reduce al grupo de 

 la primera columna que consideramos. Es decir, á 



7^2 / ^PjL^lElJL 1 = 0. 



^Qm ^Qn 



Y como /?^ no es cero, queda demostrado que para todas 

 -las combinaciones de m y n resulta 



Acabamos de decir que la determinante funcional R no es 

 cero, y esto no es evidente; hay que demostrarlo; pero, en 

 rigor, está demostrado en la teoría de las determinantes, por- 

 que hay un teorema que dice: que si la determinante funcio- 

 nal de funciones tales es cero, estas funciones no son inde- 

 pendientes unas de otras, sino que entre ellas existen rela- 

 ciones por las que una ó varias son funciones de las restantes. 



Entiéndase bien que hay que considerar á cada una como 

 una entidad total y única, ó, más claro todavía, que en las 

 relaciones que entre ellas existan 



'■?(ai, ^-i ^■k) = ^ 



no entran explícitamente las variables p. tp no será de nin- 

 gún modo de esta forma 



'-?(ai, a, a.k, fi, p. P le) = O- 



Luego si R fuese cero, las funciones a dependerían unas 

 de otras, y hemos dicho terminantemente, al enunciar el teo- 

 rema de Liouville, que las a^ a 3 a^ son integrales pri- 

 meras independientes. 



Queda con esto terminada la primera parte de la demos- 

 tración, y se puede llegar al fin con gran rapidez. 



