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Y pasamos á demostrar el siguiente: 



Teorema. — Si las k funciones /p A» fk, son funciones 



de las k variables independientes x^, Xo, x^ y la deter- 

 minante funcional de las / respecto á las x 



?/i 3/i 



¿X, 



dx. 



?/i 



^Xk 



es idénticamente nula, las funciones / no son independien- 

 tes; entre ellas existen ciertas relaciones: por ejemplo, para 

 fijar las ideas, /^ es una función de las restantes 



fi = F{f„f, A), 



sin que en esta relación ó en estas relaciones aparezcan 

 las X explícitamente, es decir, que en el ejemplo que hemos 

 presentado, bajo el signo F, no podría entrar ninguna x, no 

 podríamos tener explícitamente 



fl = P{f^.J"o fk,x,,x, ). 



La identidad se ha de verificar sólo entre las /, y sustitu- 

 yendo, en vez de cada f, su valor en función de la x, éstas 

 se han de anular unas con otras, viniendo á una identi- 

 dad = 0. 



Volvamos ahora á la demostración del teorema. 



Se funda ésta, en rigor, en un cambio de variables. 



Hemos dicho que las / son funciones de las x, y que las x 

 son las variables independientes. 



