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supongamos que desapareciese la Xg. Pues si quedaba al- 

 guna de las siguientes x^ X5 á una de ellas le daríamos 



el nombre de Xg y la transformación continuaría. 



Pero, ¿y si no entra ninguna de las siguientes? Entonces la 

 tercera ecuación se reduce á 



y el teorema está demostrado, puesto que una de las /, á sa- 

 ber, /g, es función de /i, /o, sin mezcla de ninguna x. 



La demostración es, por lo tanto, rigurosa. 



Queda, pues, demostrado este teorema, que es de frecuen- 

 te uso: 



Si la determinante funcional R es cero, las funciones /, no 

 son independientes; entre ellas existen ciertas relaciones sin 

 ninguna x explícita. 



* 

 * * 



Volvamos ya al estudio de las ecuaciones generales de la 

 Mecánica. 



Expresada la generalidad de los problemas de la Mecáni- 

 ca por las ecuaciones de Lagrange, y transformadas éstas en 

 otras ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden, 

 que nosotros llamábamos simultáneas, porque son ecuacio- 

 nes diferenciales de diversas funciones y de una sola varia- 

 ble independiente, el tiempo, bajo la forma canónica de Ha- 

 milton, se nos presentaba el problema de la integración de 

 estas ecuaciones, que eran, como hemos dicho, diferenciales 

 ordinarias de primer orden, y que á la vez están puestas bajo 

 la forma normal 



dp _j ^- = g 



dt dt 



