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I una red de circunferencias I siendo de notar 



i un complejo de superficies esféricas) 



que, de este modo, pueden exponerse las propiedades de la 

 inversión cuando la potencia es negativa, en la misma for- 

 ma elemental que se emplea cuando la potencia es positiva. 

 En lo que sigue nos proponemos ampliar el concepto de 

 plano radical de dos superficies esféricas, de eje radical de 

 tres y de centro radical de cuatro. Lo cual no sabemos que 

 se haya hecho y es solo un ejemplo'sencillo de lo que lle- 

 vamos dicho. 



I 



Es cosa sabida que dos superficies esféricas, no concén- 

 tricas, determinan la posición de un plano que: primero, 

 pasa por sus puntos comunes, siendo perpendicular á la rec- 

 ta de los centros; segundo, pasa por los puntos medios de 

 las tangentes comunes; tercero, es el lugar geométrico de 

 los puntos de igual potencia respecto de ambas superficies; 

 cuarto, lugar de los puntos cuyas diferencias de cuadrados 

 de distancias á los centros es constante; quinto, lugar de los 

 puntos desde los cuales se pueden trazar tangentes de igual 

 longitud, y sexto, lugar de los centros de las esferas que 

 cortan á las propuestas ortogonalmente. Le llamaremos pto- 

 no radical de primera especie ó simplemente plano radical, 

 como es costumbre. 



Para simplificar los razonamientos nos valdremos del 

 análisis algébrico, empleando coordenadas cartesianas rec- 

 tangulares. Sean (a, b, c) las coordenadas del centro de una 

 esfera, R el radio y D la distancia variable de un pun- 

 to (x, y, z) al centro; se tendrá 



D^ = (x — a)-'-{-(y-by'-\-(z-c)- 



y la superficie esférica tendrá por ecuación 5=0, siendo 

 S=D- — /?2, La superficie esférica imaginaria, cuyo radio 



