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El plano { J ~ c ^ i goza de la propiedad de que sus 

 puntos son centros de esferas que cortan ortogonalmente á 



la |P""^^^,^ 1 y diametralmente á la | segunda I ^^ j^^ ^^^ 

 (segunda) ^ (pnmera ) 



superficies dadas. 



Definición. — Planos radicales de tercera especie, de dos 

 superficies esféricas, son dos planos que contienen los cen- 

 tros de las esferas que cortan ortogonalmente á una y dia- 

 metralmente á la otra. 



Vemos, pues, que dos esferas S^ = O, S^_ = O, definen 

 cuatro planos radicales: uno de primera especie, uno de se- 

 gunda especie y dos de tercera especie: los cuatro perpen- 

 diculares á la recta de los centros, simétricos el primero del 

 segundo y los terceros entre sí, respecto del punto medio 

 de la distancia entre los centros. 



Todo lo cual puede exponerse elementalmente, para lo 

 cual basta partir de la propiedad de que el lugar geométri- 

 co de los puntos cuya diferencia de cuadrados de sus dis- 

 tancias á otros dos es constante, es un plano perpendicular 

 á la recta que une los dos puntos (*). 



Claro que la propiedad planimétrica correspondiente per- 

 mite deducir con gran facilidad el eje radical de primera es- 

 pecie, el de segunda especie y los dos de tercera especie de 

 dos circunferencias coplanarias, que es por donde debe co- 

 menzarse. 



Vamos á considerar tres superficies esféricas 



5i = O, So = O, Ss == O, 



cuyos centros no estén en línea recta, con sus conjugadas 

 S\ = O, S'2 = O, 5'o = O, y á determinar los planos ra- 



(*j Véase, por ejemplo, Torroja, obra citada, pág. 454. 



