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tros de las esferas que cortan ortogonalmente á dos de las 

 tres superficies dadas y diametralmente á la otra. — 2. Ejes 

 radicales de cuarta especie son tres rectas que contienen los 

 centros de las esferas que cortan diametralmente á dos de 

 las tres superficies dadas y ortogonalmente á la otra. 



Según lo dicho, tres superficies esféricas definen ocho 

 ejes radicales: uno de primera, uno de segunda, tres de ter- 

 cera y tres de cuarta especie. 



Representemos por p y e los números de planos y de ejes 

 radicales de tres supeificies esféricas; por pj, pg y Ps los 

 números de planos radicales de primera, segunda y tercera 

 especie; por e^, e,, e^ y e^ los números de ejes de primera, 

 segunda, tercera y cuarta especie; es evidente que 



P = /?i + P2 + Ps y ^ = ^1 + ^2 + ^3 + ^4- 



Por cada eje radical pasan 

 tres planos radicales, 



En cada plano radical hay 

 dos ejes radicales, 

 luego 2p = 3e. 



Los tres planos radicales que pasan por un eje son: de 



I 



segunda} '^^P^'^'^ '»' ^"^ P^'^" P°' "" "í" '^^ IsegS} 



especie; dos de tercera especie y uno de jopgMndal ^^P^~ 

 cié los que pasan por un eje de | , J especie. 



En cada plano radical de 

 primera especie hay un eje 

 de primera especie y uno de 

 tercera; 



En cada plano radical de 

 segunda especie hay un eje 

 de segunda especie y uno de 

 cuarta; 



luego, teniendo en cuenta lo anterior, se tendrá 



Pi = 3ei Pi = e^. I p, = 3e.¿ ^2 = ^4- 



En cada plano radical de tercera especie hay un eje de 

 tercera especie y uno de cuarta; luego 1^^ ^o\- 



