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tros de esferas que cortan ortogonalmente á dos y diame- 

 tralmente á las otras dos de cuatro esferas dadas, á los cua- 

 les llamaremos centros radicales de quinta especie de dichas 

 esferas. 

 Sean C el número total de centros radicales y 



los números de centros de primera, segunda, tercera, cuar- 

 ta y quinta especie. Es claro que 



C^Q + Q + Co-f Q+Q. 



En cada plano radical hay Por cada centro radical 

 cuatro centros radicales; pasan seis planos radicales; 



luego 4P = 6 C. 



Los seis planos radicales que pasan por cada centro ra- 

 dical son: de j P^^"^^|,^ i especie, los que pasan por un cen- 



de tercera especie, los que pasan por un centro de \ ^^^^^^^ \ 



especie, y, finalmente, uno de primera, uno de segunda y 

 cuatro de tercera especie, los que pasan por un centro de 

 quinta especie. 



En cada plano radical de 

 primera especie hay un cen- 

 tro de primera, dos de terce- 

 ra y uno de quinta. 



Se tendrá, pues, 



P, = 6Ci, 2P, = 3C3, 



En cada plano radical de 

 segunda especie hay un cen- 

 tro de segunda, dos de cuar- 

 ta y uno de quinta. 





En cada plano radical de tercera especie hay un centro de 



