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d) elle posséde un faisceau \C\ de genrep'>>0 de cour- 

 bes irreductibles hyperelliptiques C de genre p>2. 



Sur chaqué courbe C il existe done par hypothése une 

 serie linéaire^ 2 d'ordre deux et de rang un. Ces <x> ^g ^ dé- 

 terminent, sur F, une involution I2. Soit F° une surface re- 

 présentative de cette involution, c'est-á-dire une surface dont 

 les points et les couples de 4 se correspondent un a un. 



A une courbe C correspond, sur F°, une courbe rationnelle 

 C qui engendre un faisceau \C"\, de genre p', en corres- 

 pondance birationnelle avec \C°i. La surface F possédant 

 un faisceau de courbes rationnelles, peut étre ramenée, par 

 une transformation birationnelle, á une réglée de genre p' (*). 

 Les genres géométrique, arithmétique et l'invariant de Cas- 

 telnuovo-Enriques de F^ ont done respectivement pour 

 valeur/7^ = 0,/7^ = _p',coO = 9 — 8/7'. 



Soit \l\ le systéme canonique (irreductible) de F, C une 

 courbe adjointe a \C\. De Tinégalité fondamentale d'adjonc- 

 tion 



C = L^C, 



on déduit que {\C\ étant de degré zéro) les courbes ca- 

 noniques de F rencontrent une courbe C en des groupes ca- 

 noniques, c'est-á-dire en des groupes composés de p — / 

 groupes de la ^ J appartenant a cette C. 



Les courbes C découpent done, sur une courbe L, une in- 

 volution d'ordre 2 p — 2 et de genre/?', dont chaqué groupe 

 est composé de p — 1 couples de /,. Par conséquent /o de- 

 termine sur une courbe L, une involution y'j d'ordre deux 

 et d'un certain genre 7:^p^'\ A une courbe L correspondra 

 done sur la surface F"^ une courbe 1° de genre u. Cette 

 courbe recontrera une courbe C^ en p — 1 points et elle en- 



(*) Enriques. Sopra le superficie algebricfie che contengono un 

 fascío di curve razionali. Mathem. Annalen. 1899. Bd. LII. 



