- 186 - 



gendrera un systéme linéaire de degré j (pC) _ i) de genre?: 

 et de dimensión pg~ \, correspondaní au systéme cano- 

 nique de f. On aura 7:> 1, car les surfaces pour lesquelles 

 ■F. = 1 ont été déterminées dans mon travail deja cité; aucu- 

 ne ne posséde un faisceau irrationnel de courbes hyperellip- 

 tiques de genre supérieur a deux. 



Le tliéoréme de Riemann-Roch, appliqué au systéme [L% 

 donne une premiére inégalité 



p,-\ ^l (p(')_l)_p'_7r+l. 



D'autre part, les C^ découpent sur une involution y'p -i 

 d'ordre p — \ et de genre p. Cette involution posséde, 

 d'aprés la formule de Zeuthen, 2 (^— 1) — 2 (p — 1) {p' — 1) 

 coincidences. Ce nombre est certainement supérieur á zéro, 

 car, sans nuire a la généralité, on peut prendre une L^ 

 touchant une C^. On a done une deuxiéme inégalité. 



(/7-l)(p'-l)<7:-l. 



2.— Entre les surfaces F^, F, nous avons par construction, 

 une correspondance (1, 2). Cette correspondance posséde, 

 sur Fo, une certaine courbe de diramation D dont on peut 

 aisément obtenir une expression fonctionnelle. 



Nous savons tout d'abord que le nombre- base d'une 

 surface réglée (ou référable a une réglée) est égal á deux (*), 

 D'autre part, une courbe C° étant de degré zéro, une cour- 

 be L^ de degré I (/? ^'^ — 1), et ees deux courbes ayant en 

 commun p — 1 points, elles sont indépendantes. En effet, 

 on a 



O p — \ 



p~\ |(/7(')-l 



= -(p-ir^o. 



(*) Severí. Sulla totalitá delle curve algebriche tracciate sopra 

 una superficie algébrica. Mathem. Annalen. 1906. Bd. LXII. 



