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5. — Supposons que|L^| soit composé avec une involution 

 d'ordre n. Considérons les L^ ayant un point double en z 

 points fixés á priori, Ces courbes auront en outre (n — 1) 2 

 points doubles fixés et seront done de genre ~ — nz. Les O 

 marquent sur une de ces courbes une involution d'ordre 

 p — 1 et de genre p', possédant d'aprés la formule de 

 Zfcuthen, 



2(7:-nz-\)-2{p-\){p'-\) (13) 



points doubles. Ce nombre est certainement positif, car on 

 peut toujours prendre un L^ touchant une C^. 



Si par suite nous prenons pour z une valeur ne rendant 

 pas positive l'expression (13), il ne doit pas y avoir de cour- 

 bes L^ ayant z points doubles (et par conséquent nz) assig- 

 nés. Pour cela, il suffira d'avoir 



pg—3z%0, 



car pg — 1 est la dimensión de \L^\ 

 En particulier, si nous prenons 



Z = T.-\-{p _l)(p'_l), 



nous devons avoir 



/7^^3(7:-l)-3(/7-l)(/7'- 1), 



c'est-á-dire, á cause de (12), 



(;,2_6^ + 6)(/7'-l) + (p-2);;^2(p-3)(7:-l). (14) 



6. — Reprenons l'expression (11) de pa. Nous voyons que 

 p (tc — 1) — 2 (/72 — p — 1) {p' — 1) doit étre múltiple de 

 p — 2. On a 



p(7r _ 1) _ 2 (pi — p _ 1) (p'_ 1) ^ 2 (tt — 1) — 2 (/?' — 1) (mod. p - 2). 



