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teorema, es decir, la de expresarse el primer miembro de la 

 ecuación diferencial por una determinante funcional, no es 

 otra cosa que la misma ecuación (M) que sirve para defi- 

 nir los multiplicadores integrantes en que se ha hecho M= 1. 



De suerte que es un caso en que hay un factor integrante 

 representado por la unidad. 



Luego M= 1 debe satisfacer idénticamente á la ecuación 

 que sirve para determinar las funciones M; á saber: 



3MX, , 3MX , , dMXn ^ 



-T — :: = ^» 



9Xi 9^2 9Xn 



y haciendo esta sustitución resulta como identidad 

 I^^I^j^ +^^^0, 



que es lo que nos proponíamos demostrar. 



La recíproca también es exacta; es decir que si se verifi- 

 ca esta última condición, la ecuación en diferenciales par- 

 ciales propuesta podrá ponerse bajo la forma de una de- 

 terminante funcional, y, por lo tanto, existirá un factor inte- 

 grante igual á la unidad. 



La demostración de esta recíproca, que, para abreviar omi- 

 tiremos, pueden verla mis alumnos en la obra ya citada de 

 Mr. Valleé Poussin; pero se observa que es casi evidente, 

 porque en la serie de ecuaciones que podrían servirnos para 

 determinar la M y las a, y que eran 



^1 = ^2,^12 = ^2 An=^n, 



Ó bien 



MX^ = \,MX, = ^, MXn = A;,, 



si hacemos Ai = 1, es cierto que quedarán 72 ecuaciones con 

 n — 1 incógnitas 



X, = \,X, = ^, X„=A,; 



