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Xi, x., Xn que expresa el cociente de las dos funciones 



de las mismas variables, M y M^. 



Puesto que M es un factor integrante y todos los factores 

 integrantes satisfacen á la ecuación diferencial que antes 

 hemos obtenido (porque hemos demostrado la proposición 

 directa, aunque no hayamos demostrado la recíproca), ten- 

 dremos: 



dMX, , dMX:, , , dMXn ^ 

 -\- H : =^- 



dX^ BX.2 dXn 



Y sustituyendo en vez de M su valor en función de M^, 

 resultará: 



dM^X.a , dM^X.a , , 5M,X.y. ^ 

 -| — = [' -¡ — - — ^ U. 



3Xi 9X9 c!Xn 



Considerando en cada término dos factores distintos, 



M^ Xi y a; Mi X y a, M^ Xn ya,' 



y desarrollando la diferencial del producto, tendremos: 



a— -i-i + MiXi-— + a —r-^ + 

 dXi dX^ 9X9 



+ M, X h- +« ^-^ ^-M^Xn :=0. 



9Xa 9x„ 9x„ 



Y ordenando de otro modo y s^^ndo factores comunes: 



X^M^X^ . 9M0X9 , , 9MiXzl , 

 « \ = — -" + H -f- 



L 9Xi 9X9 9x„ \ 



+ mU^ + x^+ + x„^l = o 



L 9Xi 9^2 9x„ J 



Pero el primer paréntesis es igual á cero, puesto que, por 



