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Cela est absurde car puisque Ton a supposé m^ > m.>, m^ 

 est au plus égal á — m{m-\-\). 



On a done ^12 = 1. 



Considérons une droite s'appuyant au moins en trois 

 points Qi, Q2, Q3, sur la courbe Q. Supposons qu'il y ait 

 un certain nombre z de courbes F passant á la fois par ees 

 trois points. Comptons les courbes F passant par Q^ et dont 

 les plans passent par O,, Q3. 11 y a: 



T) ^courbes F passant par Qi, Q2, Qg; 



2°) Qa -z » » » g^, Q2; 



3°) Qn — ^ » . » » Qi, O3; 



4°) q^2 — z » » » Qi seul. 



Par suite, on a 



^i = 2^ii + 9'io — z. 



A cause de q^ = q^ + q^^, on en déduit z =^ q.^-^. 



Parmi les /2 courbes F dont les plans passent par Qi, Q.,, Qg, 

 il y en a g^i passant par ees trois points et 3^13 passant par 

 un seul de ees points. On a done 



^ii + 3gi2</2, 

 et par conséquent, puisque q^ = q^^ F ^ii> 



Mais par la formule (2), cette inégalité devient 



2/72^ (/2 — ^1) + 2/72 — 2m, q'o ^ /22i {n — 9-1). (3) 



En donnant a q'2 sa plus haute valeur possible n — q^, 

 on a 



(/2 — ^l)(/7Z- — /72 — /722) + 2/72 <0. (4) 



