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 Or, /Ho ^ — m {m -j- 1), done 



m{m -\- 1 ) — /72o > O 



poiir /77 >• 2. L'inégalité (4) est done absurde. 



L'inégalité (3) n'étant pas valable pour la plus grande 

 valeur possible de q'.¿, n'est done jamáis vérifiée et on a 

 n—q^ <2q^,. 



Nous avons q^^ = 1 eí d'auíre part,^| <:n,q^>n — 2. 

 Par suite, q^ = n — \. La formule (2) donne alores q'^ = 1, 

 et nous avons done eonstruií une surface F\ d'ordre m -j- I, 

 passant simplement par les courbes singuliéres Q, C2 de la 

 congruenee. A ehaque point de Q eorrespond une surfa- 

 ee F\, nous avons done une simple infinité de pareilles sur- 

 faees. 



4. — Supposons maintenant q^ <C n. Désignons par q^i le 

 nombre de courbes F passant par deux points queleonques 

 de C2, par ^22 1^ nombre de ees courbes passant par un point 

 de Co, mais dont les plans seuls passent par un deuxiéme 

 point de cette courbe. On a q.,i -\- ^22 = ^2- 



La surface f'^, lieu des courbes F dont les plans seuls 

 passent par un point quelconque P de Cg, est d'ordre 

 m{n — q.^ -\- 1, passe ^22 ^^is par C2 et un certain nom- 

 bre q\ de fois par C^ • P est un point simple de F\,, done 

 on doit avoir soit ^22 = 0> soit ^22 = ^• 



Les intersections d'une courbe F n'appartenaní pas a F ], 

 et de cette surface ne peuvent tomber en dehors de Q, Co, 

 par suite 



m [m {n — q^) -f 1] = m^ q\ + m., q 22. (5) 



Considérons un point Q de Q et les n courbes F dont les 

 plans contiennent la droite PQ. 

 II y a q'2 de ees courbes passant par O mais non par P, q\ 



