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passant par P mais non par 0. Soit z le nombre de ees cour- 

 bes passant par P ei Q, on a 



Qi = q\ + z, q. = í/'o + z, 

 d'oú, en éliminant z 



Q'i = Qi — Q2 -i-Q'2- 



Si g^ = /z, on a évidfcmment q'o ^ O, d'oú q\ ^= n — ^o- 

 Si q^ < n, on aqi = n — 1 , ^'2 = 1 > d'oú encoré q\^ n — g._>. 

 La formule (6) devient done, quelque soit g^, 



(/2 — ^2) (^^ — ^1) + /?? = /"2 ^22 • 



Si ^22 = O, on a 



{n — qo) {m^ — m^ + m = 0. 



Cette égalité n'est possible que si /77i est divisible par m 

 et supérieur a /t?^ ce qui est impossible. On a done toujours 



Si ^22 = 1, on a 



{n — ^2) (^'" — ^1)4 rn = m., , 

 ou, a cause de m^ + m^ = m{m -\- 1), 



(/z —^2 — 1 )(/"' — /"i) = O- 



Deux cas peuvent done se présenter: 



a) rrii = rrí^, ou 



b) q^=n^\. 



Dans le premier cas, l'équations (1) donne 



m{n — 9'i) = ^2 — 1 • 

 Si g^ = /2, on a go = 1- Si ^1 = /2 — 1, on a ^2 = ^ + í- 



