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los problemas se van complicando y en cierto modo se van 

 superponiendo. 



La ecuación diferencial ordinaria de primer grado y de 

 la forma más elemental, pero en que el coeficiente diferen- 

 cial contiene la función y la variable independiente; en 

 suma, 



dy 



c'X 



-f{x,yl 



también tiene infinitas soluciones, también representa infini- 

 tas curvas; es decir, que la solución no es única, es un sis- 

 tema. 



La forma general es, pues, 



o{Xi,y,,C) = 0. 



Contiene, como vemos, una constante arbitraria C, y á 

 cada valor de la constante arbitraria C corresponde una 

 curva. 



Pero este sistema ya es mucho más complicado, que el 

 del primer ejemplo; porque las curvas no son idénticas ni 

 pueden coincidir, en general, por un movimiento de trasla- 

 ción. 



Están enlazadas, ciertamente, entre sí, puesto que todas 

 ellas satisfacen á la misma ecuación diferencial. Constituyen, 

 por esta razón una familia, y sus relaciones de parentesco, 

 si se me permite la imagen, están expresadas en la ecuación 

 diferencial á que pertenecen. 



Podrán transformarse unas en otras, y precisamente esta 

 idea, que es un germen, desarrollada por grandes matemáti- 

 cos y ensanchada sucesivamente, nos atrevemos á decir que 

 ha dado lugar á la admirable teoría de los grupos de trans- 

 formación, una de las grandes creaciones matemáticas de Lie. 



Aunque es claro que el problema está presentado del 

 otro modo. 



