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la última clase de diferenciales úq p y q, buscando integrales 

 que sean constantes para todo el movimiento, que resbalen 

 si podemos expresarnos de este modo, por el haz de trayec- 

 torias C, C, C" sin cambiar de valor. 



De todas estas integrales solo vamos á estudiar la que 

 entra en el teorema de Liouville, y este estudio nos dará 

 una idea provisional de esta teoría importantísima de las 

 invariantes integrables. 



* 

 * * 



Consideremos la integral 



dq^ 3qo....3q„dp,3ix, dp/^, 



E 



y vamos á explicar claramente el sentido de esta integral, 

 aunque no es distinto del que en el cálculo se da á dichas 

 expresiones. 



Supongamos para simplificar, que el número de diferen- 

 ciales sea tres; que se define la integral 



3Xi 3Xo 3X,3 

 E 



por tres coordenadas trirrectangulares x^, x.,, Xc¡, y que la 

 integral se extiende á un volumen cerrado que represen- 

 tamos por E. 



El cálculo de esta integral ya lo conocen mis alumnos. 



Se integra primero, por ejemplo, con relación á x^ entre 

 dos límites marcados por los subíndices 1 y 2, y tendremos 



r Cdx, dx, (x,\^ = r r?xi 



(^3)2 - (^3)1 



Los subíndices 1 y 2 se refieren á los puntos en que la 



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