- 460 - 



los límites correspondientes, el resultado será una función 

 de todas las coordenadas hasta ^/t_2 : se hallará 



/[ 



^A ^Qk-'í 'f (Pi qk-2) 



Seguiremos ahora integrando por relación á (7/^-2 Y ob- 

 tendremos, llamando t|> á la nueva integral 



/ 



^Pl ^Qk-A'iPx ^A-s) 



Y así sucesivamente hasta llegar á dp^. 



Esta marcha, que es natural y sencillísima, no ofrece 

 nada de extraño ni de incomprensible; lo único que hay es, 

 que deberán definirse en cada caso, sin ambigüedad, los lí- 

 mites de estas integrales parciales. 



En ambos ejemplos, ya en el de tres dimensiones {x,y, z), 



como en el más general (puA Pk, Qi, Q2 Qk), hemos 



supuesto que las variables de la integración eran indepen- 

 dientes; en nuestro caso supondremos que son funciones de 

 otras variables independientes; pero la idea fundamental es 

 la misma, aunque el problema se complica con un cambio 

 de variables, que es como considerar diversas especies de 

 espacios de 2k dimensiones. 



Estas ideas se precisarán en adelante. 



* 

 ¡k * 



El teorema de Liouville que pertenece, por decirlo así, á 

 la teoría de las invariantes integrales, se refiere á la integral 

 múltiple que acabamos de indicar, llamándola / (inicial de 

 invariante), tendremos: 



/= I dq^ dq., dqk^p^ dp,^ dpk. 



i 



