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que el sistema de ecuaciones (á) define también una rota- 

 ción, pero rotación que no concuerda con el concepto que 

 de esta operación da la Geometría ordinaria, y que por ello 

 mismo constituye la base de un grupo de geometrías no eu- 

 clidianas, que pueden conservar ó no los postulados que 

 sean independientes de aquel concepto. 



La diferencia esencial entre las rotaciones definidas por 

 los sistemas (a) y (b) está en la existencia de dos rectas 

 fijas que pasan por el centro (asíntotas de las hipérbolas), 

 que son características de la primera y no existen en la se- 

 gunda. Así, mientras en la rotación euclidiana únicamente se 

 conserva fijo el centro, en la no euclidiana que consideramos 

 gozan, además, de esta propiedad dos rectas que pasan por 

 dicho punto. Ello procede de que, mientras al variar ce en- 

 tre — 00 y -(- 00 el radio vector barre la totalidad del pla- 

 no, cuando í) cambia en igual forma, la referida recta sólo se 

 mueve en el interior de uno de los ángulos en que las asín- 

 totas dividen al plano. 



Según esto, ambas porciones son completamente inde- 

 pendientes; de modo que una recta situada en una de ellas 

 no puede nunca salir de ella por rotación, y como los ejes 

 primitivos de las x y « pertenecen uno á cada uno de dichos 

 ángulos, continuarán cumpliendo la referida condición des- 

 pués del cambio por la rotación 6. Además, puesto que las 

 ecuaciones de los nuevos ejes, respecto de los antiguos, son, 

 evidentemente, 



X 



u 



se trata siempre de dos diámetros conjugados respecto de 

 las hipérbolas, como lo son respecto de la circunferencia 

 todos los ejes que corresponden al cambio definido por eJ 

 sistema (6). : 



