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De lo contrario, chocaríamos con una contradicción dentro 

 de la solución que pretendíamos hallar. 



Pero esto no sucede. Los valores de « y v que satisfagan 

 á las dos últimas ecuaciones harán siempre integrables las 

 dos primeras, ó la ecuación en diferencial total de p que las 

 condensa. 



Y vamos, ante todo, á establecer este 



Teorema. — Todo sistema de valores de u y v tn x, y, i 

 que satisface á las ecuaciones 



du , 3y 



9x dy 

 da 3 y 



= 



dy dx 



hace integrable las dos primeras, en que hemos sustituido á 

 X, Y su expresión en valores de la potencial: 



dx dx ^y 9/ 



dU dv 9v d 



-1 



t i 



dx dy dt 



Para demostrar esto no hay mas que escribir la diferen- 

 cial total de p 



dp = -^dx^-^dy, 



dx dy 



poniendo, en vez de las derivadas parciales, los valores pre- 

 cedentes, con lo cual resultará, ordenando de otro modo, 



r da du , dU du~\^ , 



dp = o\ — u y ■ — — H dx 4- 



L ^x dy dx dt j 



r dv dv , du 9y 1^ 



+ P — « y dy. 



L 9x dy dy dt J 



