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las dos series secciones están relacionadas real-proyectiva- 

 mente, por ser reales los tres pares de puntos homólogos 

 O Ox, PP\, A A^. Para hallar ahora el rayo homólogo de 

 uno, co M, basta hallar el punto imaginario de intersección 

 con la recta A P, es decir, la intersección de esta recta con la 

 involución Mw que proyecta desde el punto M la involu- 

 ción que define el punto w; determinar luego la involución 

 homologa en la recta A ^ P^, y el centro perspectivo de esta 

 involución, tomada en el sentido conveniente, y de la invo- 

 lución que define el vértice ^.^ del segundo haz, es el pun- 

 to real M^ del rayo pedido, 



3. Dos caminos pueden seguirse para establecer las 

 operaciones con los segmentos de una recta real, que, gene- 

 ralizados, conducen á la teoría de las operaciones con figu- 

 ras simples ó cuaternas (*) de Standt, ó á las operaciones 

 con los llamados por Schur (**) segmentos proyectivos. 

 Apóyase el primero en la teoría de la involución, y por su 

 medio se establece la suma y el producto de cuaternas, y de 

 estas operaciones se deducen la diferencia y el cociente, 

 como inversas de ellas; en el segundo se parte, por el con- 

 trario, de la diferencia y del cociente, fundándose en pro- 

 yectividades no involutivas con elementos dobles, y de 

 estas operaciones se deducen la suma y el producto, coma 

 inversas de ellas. En efecto; la ecuación z^ -\- z^ = z que 

 define la suma, suponiendo z constante, representa una in- 

 volución que tiene doble el punto límite, es decir, una si- 

 metría proyectiva, y en ella el elemento homólogo del ori- 

 gen es el extremo del segmento suma de los que terminan 

 en dos puntos conjugados cualesquiera (***) 



La ecuación z-i^x Z2 = z que define el producto, supo- 



(*) Torroja: Obra citada, páginas 257 á 272. 

 (**) Schur: Grundlagen der Geometrie, páginas 53 á 66. 

 (***) Vegas: Discurso de ingreso en la Real Academia de Cien- 

 cias, pág. 46. 



