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Tiiendo z constante, representa una involución en la que son 

 conjugados los elementos origen y limite, y en ella el ele- 

 mento conjugado con el elemento unidad es el extremo del 

 segmento producto de los que tienen por extremos dos 

 puntos conjugados cualesquiera. 



Análogamente, la ecuación z — 2:1 = Zo» siendo z.. cons- 

 tante, representa una proyectividad que tiene como elemen- 

 to doble único el elemento límite, es decir, una prospectivi- 

 dad respecto del elemento límite, y en ella el elemento de 

 la primera figura homólogo del origen de la segunda es el 

 extremo del segmento diferencia entre los que tienen por 

 extremos dos elementos homólogos cualesquiera. 



z 

 Finalmente, la ecuación — = Zo, siendo constante z^, re- 



^1 

 presenta una proyectividad que tiene por elementos dobles 

 el origen y el elemento límite, ó sea una semejanza proyec- 

 tiva respecto del origen como centro, y en ella el elemento 

 de la primera figura homólogo del elemento unidad de la 

 segunda es el extremo del segmento cociente de los que 

 lienen por extremos otros dos elementos homólogos cuales- 

 quiera. 



4. Pues bien; si generalizamos estas consideraciones á 

 un haz de rectas cuyo vértice es un punto imaginario y su 

 plano real, tenemos las operaciones entre los vectores que 

 tienen por extremos los puntos reales representantes de los 

 rayos del citado haz en la proyectividad ó involución que se 

 considere, como vamos á ver en lo que sigue. Mas para 

 facilitar las construcciones, supondremos el vértice del 

 haz en uno de los puntos circulares del plano (hipótesis 

 euclidiana); siendo, por lo demás, fácil generalizar los re- 

 sultados obtenidos sin más que sustituir las simetrías res- 

 pecto de un punto por sistemas en involución respecto de 

 la base de la involución fundamental, es decir, de la recta 

 real que contiene el vértice del haz de rectas; los círculos, 

 por cónicas que pasan por este vértice; las transformaciones. 



