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de las rectas O Py O Q,y el punto Zo de intersección de 

 estas dos rectas es el extremo del vector diferencia de los 

 O Z y O Z^. Ahora bien; en virtud de la traslación conside- 

 rada en la recta Z Z^ se verifica la igualdad Z Z^ = PP^ = 

 QQi y Z,Pi = OP, por ser 0P= PQ^ Z^P,^ P,Q, 

 y P Q = Pí Qi; de donde se deduce que O Z^ ZZ, es un 

 paralelogramo, con lo cual se obtiene la diferencia y la suma 

 de dos vectores por la regla conocida del paralelogramo. 



Además, como el punto O es cualquiera del plano, se 

 deduce que á toda prospectividad compleja respecto de la 

 recta base de la involución fundamental, corresponde en la 

 representación plana de Gauss una traslación proyectiva, ó 

 sea una homología respecto de esta recta como eje y de uno 

 de sus puntos como centro. 



O Z 



6. Cociente de vectores. — Para hallar el cociente 



OZ^ 



basta considerar la proyectividad compleja que tiene dobles 

 la recta del infinito y la w O y como elementos homólogos 

 los rayos w Zy w Z^. Si oj U es el elemento unidad, cortan- 

 do los dos haces proyectivos por las dos rectas reales O Z 

 y OZ^ (Fig. Z^) se obtienen dos series perspectivas semejan- 

 tes, determinando el rayo co í7por las dos rectas trazadas por 

 í/ paralela una y perpendicular otra, á la recta OZ^, y por 

 las rectas inclinadas respecto de estas 45° se obtienen los 

 puntos Pi y Qi, cuyos homólogos en las series semejantes 

 citadas son P y Q; y las rectas PZ2 perpendicular k O Z 

 y O Zo inclinada 45° se cortan en el punto Z2, extremo del 

 vector cociente que se busca. 



Ahora bien; en las figuras planas directamente semejantes 

 que tienen doble el punto O y homólogos los Zy Z^, los 

 puntos Py Pi son homólogos y también los Q y Qi, y, por 

 tanto, son homologas las rectas PiU y P Z^ y también 

 las Í/Qi y QZo, y, por consiguiente, los puntos U y Z^ 

 son homólogos y también las rectas O U y OZo; lo que 

 prueba que los triángulos O Z Z^ y O U Z.^ son semejantes^ 



