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SU punto de intersección Z es el extremo del vector produc- 

 to que se busca. 



Pero del paralelismo de las rectas P^ Zg y Z^ P2, así como- 

 el de las rectas P1Q2 Y P-2 Qi, se deducen las igualdades 

 OZ,x 0Z,= OP,xOP, = OQiX OQ,,ys\P\ y 

 Q'2 son los puntos simétricos de los Po y Q2 respecto de la 

 bisectriz O X del ángulo Z^ O Z.2, y trazamos por el P'o la 

 perpendicular á la recta O Z^, el punto Z' de encuentro de 

 esta recta con la O TI es el simétrico del Z respecto de la 

 recta O X, En efecto: el antiparalelismo de las rectas U Py 

 y P'.yZ respecto del ángulo U O Z^, da OUxOZ' = 

 OP^x OP'o^ OP,x OPo = 00, X 0Q2= OQ,x 

 O Q'2, lo que prueba el antipáralelismo de las rectas U Q^ 

 y Z' Q'o y, por tanto, que el ángulo O Q'o Z', es de 45°, y, 

 por consiguiente, en la citada simetría son rectas homolo- 

 gas las Q2Z y Q'o Z' . Además, de lo dicho resulta O Z, x 

 O Z2 = O Zx O Uy la. igualdad de los ángulos Z O Z., y 

 Zi O U, lo que prueba la regla conocida para obtener el 

 producto de dos vectores, hallada anteriormente. 



De aquí se deduce que para que dos vectores sean in- 

 versos es preciso que las rectas de posición de los mismos 

 sean simétricas respecto del vector unidad é inversos sus 

 módulos, con lo cual el cociente de dos vectores se reduce 

 al producto de uno de ellos por el inverso del otro. 



Cuando las rectas de posición de dos vectores son simé- 

 tricas respecto del vector unidad, y sus módulos son igua- 

 les, se llaman conjugados, y su producto es otro vector 

 cuyo extremo es la intersección del vector unidad con ia 

 circunferencia cuyo centro es el origen y su radio es el cita- 

 do módulo. En general, para que el producto de dos vecto- 

 res sea real es preciso que sus rectas de posición sean si- 

 métricas respecto del vector unidad. 



De las igualdades O P,x O P'2 = O Q^x O Q\ = 

 OZ^x O Z'2 --^ O Z' X OU, se deduce que los pares de 

 puntos P.—P'., Qi — Q'-2,Z, — Z',2, U— Z' son homc- 



