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logos en una transformación por radios vectores recíprocos 

 de polo O, de donde se deduce la siguiente proposición: 



La representación plana de una involución compleja en la 

 que no es doble el rayo real es una correspondencia cua- 

 drática, resultado de una simetría proyectiva y de una in- 

 versión respecto de una cónica; proposición que también 

 puede deducirse fácilmente de lo dicho en el párrafo 6. 



Si los extremos P^ y P, de los vectores están en línea 

 erecta con el origen O, lo mismo acontece á los puntos Qi y 

 Q2, U y Z; lo que prueba que, en este caso, la representa- 

 ción plana de la involución compleja es una transformación 

 por radios vectores recíprocos, directa ó inversa, según que 

 los puntos P^ y Pg ^^ están separados por el origen y el 

 4*ayo real del haz que le contiene ó si están separados. 



9. Los puntos representantes de los rayos dobles de la 

 involución compleja citada en el párrafo anterior son los 

 extremos de los vectores cuyo cuadrado es igual al produc- 

 to dado, es decir, que son medios geométricos entre estes 

 vectores. 



Por tanto, si se quiere obtener la raíz cuadrada O Q 

 de un vector O P, como debe verificarse la igualdad O Q^ = 

 i) P X O U, se deduce que el extremo Z del vector pedido 

 es representante de un rayo doble de la involución compleja 

 definida por los dos pares de rayos cow — wO y wP — 

 oj (J, y, por tanto, el problema tiene dos soluciones. 



En particular, si el vector cuyas raíces cuadradas se trata 

 de determinar es el opuesto al vector unidad O U, los vec- 

 tores pedidos tienen sus extremos en la perpendicular á la 

 recta O U y equidistan del origen la longitud O ¿7, y en 

 general, los dichos extremos son los centros perspectivos 

 de la involución real O w — Í7 ¿7i y la fundamental, siendo 

 O Ui el vector contrario al O U. 



10. En los dos párrafos anteriores hemos visto que la 

 representación plana de una involución compleja es una 

 simetría respecto de un punto, cuando el rayo real del haz 



