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la representación plana de una proyectividad compleja 

 puede ser una homografía ó una transformación cuadrática; 

 pero ¿es cierta la proposición recíproca? Evidentemente 

 que no, pues aquella representación ha de ser conforme, y 

 existen tiomografías y transformaciones cuadráticas que no 

 lo son; más aún: hay transformaciones conformes lineales 

 ó cuadráticas que no pueden representar una proyectividad 

 compleja; tal sucede, por ejemplo, á dos figuras inversa- 

 mente semejantes con un punto doble propio, entre las pri- 

 meras, y el resultado de una traslación y una transforma- 

 ción por radios recíprocos, entre las segundas. 



En todas estas transformaciones la correspondencia en- 

 tre los elementos es biunívoca, y, por tanto, biunívoca es 

 también la correspondencia entre los elementos de las figu- 

 ras complejas respectivas; más aun, se corresponden las 

 cadenas y las figuras armónicas, y, sin embargo, estas dos 

 figuras no son proyectivas, lo cual pone de manifiesto que 

 puede haber correspondencias complejas biunívocas en 

 las cuales se correspondan las cadenas y las figuras armó- 

 nicas y que no son proyectividades. Mas el estudio de es- 

 tas correspondencias conduce al concepto de antiproyecti- 

 vidad indicado por Segre, y cuyo estudio aun no tengo no- 

 ticias que se haya efectuado cumplidamente. Mi propósito, 

 ahora, no es otro que probar que no basta la corresponden- 

 cia biunívoca entre dos figuras para deducir que se trata de 

 una proyectividad. 



12. Cuando la representación plana de una involución 

 compleja no simétrica, es decir, en la que el rayo real del 

 haz que la contiene no es doble, es una transformación di- 

 recta por radios recíprocos, ó sea cuando los puntos P^ 

 y P2, representantes de dos rayos homólogos, están en li- 

 nea recta con el origen O y al mismo lado de este punto, 

 los puntos representantes de los rayos dobles son los pun- 

 tos dobles /? y 5 de la involución real situada en la recta de 

 posición del vector unidad, y toda circunferencia tangente á 



