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esta recta en uno de estos puntos, así como las demás cir- 

 cunferencias del plano que cortan octogonalmente á la del 

 centro O y radio O R, son analagmáticas ó invariantes en 

 la citada transformación, y las cadenas formadas por los ra- 

 yos que les corresponden en la involución compleja son 

 dobles. 



Mas en los demás casos los puntos R y S, representan- 

 tes de los rayos dobles de la involución, están en el eje de 

 simetría del vector unidad y de su homólogo, y toda cir- 

 cunferencia que pasa por uno de ellos y por dos puntos 

 homólogos, pasa también por el otro. De modo que los di- 

 ferentes pares de puntos homólogos de la transformación 

 cuadrática que se considera están en las circunferencias que 

 pasan por los puntos R y S, y forman una involución en 

 cada una de ellas que tiene como puntos dobles los R y S, 

 involuciones que tendrán el mismo centro, puesto que las 

 rectas P^ Q^, P^ Q2 , que unen pares de puntos homólo- 

 gos, cortan á la recta O X en un mismo punto, en virtud del 

 conocido teorema que da el producto de dos lados de un 

 triángulo en función de la bisectriz. Aparecen así los rayos 

 del haz complejo en involución distribuidos en un haz de 

 cadenas involutivas, todas las cuales contienen los rayos 

 dobles de la involución. 



Claro es que el conocimiento de este haz de involucio- 

 nes cuadráticas determina una involución compleja y una 

 correspondencia cuadrática conforme. Mas en el caso en 

 que los puntos comunes á las circunferencias del haz sean 

 imaginarios, este haz de involuciones determina también 

 una correspondencia cuadrática involutiva; pero esta co- 

 rrespondencia no es representación de una involución com- 

 pleja. 



13. El cálculo conduce á las mismas conclusiones ex- 

 puestas. En efecto; en el caso de la diferencia de vectores, 

 ó sea de una proyectividad compleja dada por la ecua- 

 ción z^ — ^2 = z, si, en la representación de Gauss, llama- 



