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bleciendo que la diferencia entre las diversas ramas del 

 frondoso árbol geométrico no estriba en la naturaleza de los 

 elementos con que cada una opera, ni en el método de in- 

 vestigación empleado, sino única y exclusivamente en el 

 grupo de operaciones que le sirve de base. 



Por esta razón, al estudiar en el capítulo primero el con- 

 cepto de las Geometrías elementales dedica el primer ar- 

 tículo á establecer unas nociones acerca de la teoría de los 

 grupos de transformaciones, necesarias para que un lector 

 de regular cultura matemática pueda seguir los razonamien- 

 tos que el autor emplea en el curso de su trabajo y pueda 

 caminar con él y acompañarle hasta el final por la línea as- 

 cendente trazada, en cuya labor, como él mismo indica, sólo 

 ha puesto los principales jalones, ha establecido los vértices 

 de primer orden en el inmenso campo de la ciencia del es- 

 pacio. En este artículo hace algunas indicaciones acerca de 

 los grupos finitos, sobre todo de los correspondientes á los 

 poliedros regulares, que tan provechosamente se han aplica- 

 do á la teoría de las ecuaciones, de los discontinuos y de los 

 continuos con sus diversos grados de libertad. Y después 

 de haber considerado los subgrupos equivalentes y los sub- 

 grupos invariantes ó singulares, se detiene ante el grupo 

 proyectivo compuesto de todas las homografías, en las figu- 

 ras de las tres categorías, y los diversos subgrupos en él 

 contenidos. 



Con estos antecedentes se aborda en el artículo segundo 

 el Problema de la Geometría, y al observar que esta cien- 

 cia, en su concepto ordinario,, estudia las propiedades de las 

 figuras que son invariantes respecto del grupo de los movi- 

 mientos, establece las sucesivas generalizaciones por medio 

 de grupos más amplios, hasta llegar á determinar la defini- 

 ción más general de la ciencia, dada por Klein en su men- 

 cionado programa de Erlangen, que el autor desarrolla, y que 

 puede enunciarse en los siguientes precisos y generales tér-^ 

 minos: «Dada una variedad ó conjunto de cualquier número 



