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de dimensiones, y los diversos grupos de operaciones ó 

 transformaciones que pueden establecerse entre las entes 

 que se consideran como elementos, se llama Geometría el 

 estudio de las propiedades de aquella variedad que son in- 

 variantes respecto de cada uno de los grupos mencionados 

 y de todos sus subgrupos». Es claro que siendo el grupo 

 equiforme ó fundamental de la Geometría métrica subgrupo 

 del grupo proyectivo, la Geometría métrica es caso particu- 

 lar de la Geometría proyectiva, de la cual se deduce, consi- 

 derando aquellas propiedades que dejan invariante el con- 

 junto de los puntos cíclicos en el plano, la curva esférica ó 

 círculo normal en el espacio. Y al generalizar este hecho, 

 suponiendo que la figura ';invariante es una cuádrica real ó 

 imaginaria, se obtiene una nueva rama de la Geometría, que 

 se confunde con la métrica no euclidiana en el caso de ser 

 esta cuádrica la directriz del sistema polar absoluto, coinci- 

 diendo con la Geometría elíptica ó de Riemann, cuando esta 

 cuádrica es imaginaria, y con la hiperbólica ó de Lobatcheski 

 y Boliai cuando es real. Mas se comprende que la figura in- 

 variante que puede elegirse puede ser cualquiera otra, con 

 lo cual se ve la posibilidad de establecer diferentes ramas 

 de la Geometría proyectiva, pudiendo de este modo exten- 

 derse más y más el campo de esta ciencia en su parte llama- 

 da elemental ó lineal, por ser lineales las transformaciones 

 del grupo proyectivo, y aun generalizarlo á los demás 

 grupos, dando lugar á los dos famosos principios de Klein, 

 que tanto y tan poderosamente han contribuido al grado de 

 prosperidad adquirido en los últimos treinta años por la 

 ciencia geométrica, y que, en definitiva, son una aplicación á 

 la Geometría de la doble marcha que siempre sigue el en- 

 tendimiento en sus investigaciones: el procedimiento ascen- 

 dente, progresivo ó inductivo, y el descendente, regresivo 6 

 deductivo. 



Así, si del grupo proyectivo se consideran sólo aquellas 

 operaciones que dejan invariante un plano, se obtiene la 



