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Geometría afine, apoyada en el grupo de este nombre, cuan- 

 do este plano es el absoluto (hipótesis euclidiana), en la cual 

 las áreas y volúmenes son invariantes relativos; y si supone- 

 mos igual á la unidad la razón de afinidad, resulta el sub- 

 grupo equiafine que conduce á la Geometría de este nombre, 

 aún poco conocida, y que Klein ha aplicado con éxito á la 

 teoría de los números. 



Y si suponemos invariante una cónica, el círculo imagina- 

 rio, se obtiene la Geometría métrica euclidiana, basada en 

 el subgrupo llamado fundamental, que está compuesto de 

 todos los movimientos, más las semejanzas, más las sime- 

 trías. Y aun pudiera considerarse el caso en que sólo inter- 

 vienen el grupo de los movimientos y simetrías, es decir, el 

 que deja invariante la forma y el tamaño, constituyendo la 

 llamada Geometría de la congruencia, no estudiada aún, 

 y que, como observa Klein, es rama más bien geodésica 

 que geométrica, toda vez que no se conoce una definición 

 de tamaño absoluto. De este modo aparecen bien manifies- 

 tas las íntimas relaciones existentes entre las diversas Geo- 

 metrías llamadas elementales, como se ve en el art. 3.°, y 

 que, según lo establecido anteriormente, todas ellas se en- 

 cuentran comprendidas en la Geometría proyectiva, lo cual 

 justifica aquella frase célebre de Cay ley: Projectivy Geome- 

 try is all Geometry. 



Como hemos observado antes, los principios de Klein no 

 tienen sólo aplicación á las transformaciones lineales. De 

 aquí que, siguiendo el camino ascendente, puede ampliarse 

 el grupo fundamental de la métrica elemental con todas las 

 inversiones, y entonces aparece la llamada Geometría con- 

 forme, basada en el llamado grupo de los radios vectores 

 recíprocos, primera de las llamadas Geometrías superiores, 

 en la que se consideran como equivalentes los planos y las 

 esferas en el espacio, y las rectas y circunferencias en el 

 plano, y cuya excepcional importancia, por sus numerosas 

 y fecundas aplicaciones á la Física matemática, como hizo 



