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notar ya Lord Kelvin en el año 1845, se debe, en gran par- 

 te, al clásico teorema de Liouville, relativo á la permanen- 

 cia de la magnitud de los ángulos en las operaciones del 

 grupo conforme, antes mencionado. 



Á continuación de la Geometría conforme sigue el autor 

 estudiando, en el art. 1.° del capítulo segundo, dedicado á 

 las Geometrías superiores, el grupo de transformaciones de 

 Lie, y la Geometría basada en el mismo. Pero el estudio de 

 esta rama importante de la Geometría se ha realizado en 

 lodos los tratados que se ocupan de este asunto por pro- 

 cedimientos analíticos, utilizando las llamadas coordenadas 

 pentaesféricas. Por tanto, tiene particular importancia la ex- 

 posición de esta teoría por procedimientos sintéticos, cosa 

 que realiza el autor de la Memoria desarrollando las indica- 

 ciones que sobre esta materia apuntó Klein en su ya men- 

 cionado programa de Erlangen. En efecto; si se proyecta 

 estereográficamente sobre una esfera una transformación 

 plana, por radios vectores recíprocos, se obtiene en ella 

 una correspondencia biunívoca, que pertenece á una homo- 

 grafía ó colineación en el espacio (como lugar de planos). 

 Pues bien, ampliando este grupo, considerando no sólo las 

 transformaciones colineaies del espacio que dejan invarian- 

 te la cuádrica, sino todas las transformaciones lineales, ó no, 

 que cumplen esta condición, se obtiene el grupo esférico de 

 Lie, que geométricamente resulta de proyectar estereográfi- 

 camente sobre el espacio de tres dimensiones una corres- 

 pondencia (2,2) entre los hiperplanos del espacio de cuatro 

 dimensiones, que determina sobre una hiperesfera del mis- 

 mo una correspondencia entre sus esferas secciones. Mas 

 el autor, con buen acuerdo, para hacer accesible á la gene- 

 ralidad de los lectores esta marcha, que exige de las varie- 

 dades cuadráticas del espacio de más de tres dimensiones, 

 lo aplica primero á la recta, en cuyo caso la cuádrica inva- 

 riante es una cónica, en la que aparece una corresponden- 

 cia (2 2) entre sus puntos, que proyectada desde un punto 



