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elementos ni el punto ni el plano, porque no forman cuer- 

 po, se toman los llamados escamas en el espacio, es decir, 



lo que Lie definía por los valores x, y,z,p = y ^ = 



dz 



y su análogo en el plano llamado trazo, que en úl- 



dy 



timo término se reducen, respectivamente, á un punto y un 

 contorno infinitesimal plano la escama, y á un punto y un 

 segmento infinitesimal que le contiene el trazo, concepción 

 de gran trascendencia, por cuyo medio bien puede afir- 

 marse que Lie ha efectuado una revolución en la teoría 

 de las ecuaciones diferenciales y sus aplicaciones geomé- 

 tricas. 



Finalmente, se termina la primera parte de la Memoria 

 con las relaciones íntimas existentes entre las diversas ra- 

 mas de la Geometría consideradas, estableciendo el impor- 

 tante principio de equivalencia, debido al tantas veces cita- 

 do Klein, en virtud del cual: «Las Geometrías fundadas sobre 

 grupos equivalentes son equivalentes», y que da lugar á las 

 siguientes equivalencias: 



1.^ Geometría proyectiva del espacio £'j = Geometría 

 proyectiva sobre la curva normal de En = Geometría pro- 

 yectiva de En con una curva normal invariante = Teoría de 

 las formas binarias. 



2.^ Geometría proyectiva de En con una variedad 

 C„_2^ fija = Geometría métrica euclidiana de En = Geo- 

 metría proyectiva sobre una cuádrica C^^ de £"«+1 con un 

 punto fijo; y 



3.^ Geometría proyectiva ái En con una cuádrica Cn-\'^ 

 fija = Geometría proyectiva sobre una cuádrica C„_i- de 

 En = Geometría conforme de En-x = Métrica proyectiva 

 de En = Métrica no euclidiana de En- 



Y si consideramos otros elementos que no sean el punto 

 y el plano se obtienen las siguientes: 



1.^ Geometría proyectiva del espacio reglado de En = 



