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•Geometría proyectiva del espacio E^n-i con cuádrica inva- 

 riante; y 



2;'' Geometría esférica de £"„ = Geometría proyectiva de 

 En-^2 ^0'^ ^^^ cuádrica invariante. 



En resumen; sistematizada así la Geometría, y clasifica- 

 das las ramas hoy conocidas, gracias al poderoso entendi- 

 miento de Klein, ocupa lugar preferente, y dominando á to- 

 das, la hermosa concepción proyectiva, la cual, partiendo de 

 la percepción visual del espacio, llega por sucesivas generali- 

 zaciones á comprender todos los sistemas posibles, fundados 

 en grupos de operaciones que tienen finito el número de gra- 

 dos de libertad, y aun llega á los demás casos, como hemos 

 visto al ocuparnos del grupo de las transformaciones pun- 

 tuales, resultando, en suma, que después de haber estado 

 desacreditando la gráfica frase de Cayley: «La Geometría 

 proyectiva es toda la Geometría», durante medio siglo, y 

 habiendo sido atacada con verdadera saña por el eminente 

 Klein, hoy ha vuelto á recobrar su vigor, como muy atina- 

 damente hace observar el autor de la Memoria. 



Desarrollado y desmenuzado así el citado programa de 

 Erlangen, pasa el autor á ocuparse de la segunda parte de 

 la Memoria, dedicada á establecer los fundamentos de la 

 Geometría proyectiva real. 



En el capítulo tercero expone el concepto de espacio 

 proyectivo, comenzando por llegar por sucesivas genera- 

 lizaciones al llamado espacio abstracto, en el cual los ele- 

 mentos son entes cualesquiera, como puntos, rectas, pla- 

 nos, líneas, superficies, involuciones, números, funciones, 

 ecuaciones diferenciales, etc., dando así á la Geometría 

 mayor grado de generalidad, y hace notar cómo la Geo- 

 metría absoluta, además de actuar sobre el espacio abs- 

 tracto, se funda en ciertos axiomas ó postulados que fueron 

 sistematizados por vez primera por Pasch, que los tomó del 

 espacio intuitivo y que más adelante Veronese, Peano, Hil- 

 JDert y otros establecieron con independencia de dicho es- 



