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tivos, ó sea de proyectividades en las que se conocen sus 

 puntos ó involución invariante, distinguiendo con los nom- 

 bres de segmentos de primera especie á los primeros y de 

 segunda especie á los segundos. Para ello utiliza la invo- 

 lución, por cuyo medio establece la suma y resta de dichos 

 segmentos y la multiplicación por un número entero, que 

 conduce á la red armónica, si el segmento es de primera es- 

 pecie y á la red formada por los elementos sucesivos del 

 primero, cuando es de segunda especie; lo cual conduce á 

 extender el concepto de longitud proyectiva dado antes para 

 los segmentos de primera especie á los segmentos de se- 

 gunda especie, mediante la deducción de una red de Mó- 

 bius de segunda especie derivada de otra armónica de se- 

 gunda especie, en cuyo sentido se ha hecho muy poco. Sólo 

 en el caso de considerar números enteros se ha venido á 

 deducir que la longitud proyectiva de la recta es finita, si la 

 involución invariante es elíptica, é infinita, cuando es hiper- 

 bólica, y, por tanto, que la recta es finita solamente en la 

 hipótesis de Riemann, ó sea en la Geometría elíptica. La 

 multiplicación y división sólo la aplica á los segmentos de 

 primera especie, pues en los de segunda especie nada se ha 

 hecho todavía, y termina con la representación de segmen- 

 tos proyectivos por cuaternas ó figuras simples, haciendo 

 así coincidir el cálculo de segmentos de primera especie con 

 el de las cuaternas de Staudt, siguiendo el procedimiento de 

 Schur, y no continúa con las demás operaciones con las cua- 

 ternas, como hace el primero y como extendió considerable- 

 mente Lüroth en los Mathematische Annalen (1877), hasta 

 llegar al teorema fundamental del Algebra, porque no lo 

 necesita para el objeto que el autor se ha propuesto. Los 

 artículos 4.° y 5.° tratan del cálculo vectorial proyectivo en 

 las figuras de segunda categoría, y en ellos, después de ha- 

 cer resaltar bien que la diferencia esencial entre magnitu- 

 des escalares y vectoriales está en que las primeras están 

 en correspondencia biunívoca con los puntos de una recta 



