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y las segundas con los puntos de un plano, y de definir 

 la equivalencia de vectores, aplica estos conceptos á las 

 dilataciones proyectivas, ó sea homologías cuyo centro no 

 está en el eje; á las traslaciones proyectivas, ó sea homolo- 

 gías cuyo centro está en el eje; á las torsiones proyectivas, 

 ó sea á las nomografías que tienen un triángulo doble, dos 

 de cuyos vértices son imaginarios conjugados; estudia los 

 productos de estas operaciones en los diversos casos y 

 hace aplicación de esto á las rotaciones ó giros proyecti- 

 vos, caso particular de la torsión en que el tercer punto de 

 la terna característica y su conjugado armónico respecto de 

 los otros dos puntos de la terna son conjugados en la invo- 

 lución unida á la proyectividad que contiene la recta doble 

 de la toisión. 



La tercera y última parte de la Memoria se ocupa de los 

 fundamentos de la Geometría proyectiva compleja. Consta 

 de los seis capítulos finales y ponen de relieve la cultura 

 matemática poco común del autor y la importancia extraor 

 diñaría de la labor por él realizada, como se tendrá lugar de 

 comprobar en lo que á continuación se expone. 



Dedícase el capítulo séptimo al establecimiento del concep- 

 to de espacio proyectivo complejo, para lo cual se da á co- 

 nocer en el primer artículo su generación, empezando por 

 introducir el imaginarismo en la Geometría, dando la defi- 

 nición involutiva de los elementos complejos, ya en conjun- 

 to de dos conjugados, debida á Paulus, insigne profesor de 

 Erlangen y antecesor del eminente Staudt, ya separando 

 estos dos elementos, merced á la noción de sentido introdu- 

 cida por este último geómetra, con lo cual aparecen los dos 

 procedimientos de estudiar el imaginarismo geométrico. 

 Expone la definición de estos elementos en las figuras de 

 primera categoría y su representación por una cuaterna pro- 

 yectiva con otra dada y que parte de un elemento dado; es- 

 tablece la incidencia é intersección de estos elementos en 

 las figuras de segunda categoría; considera después los ele- 



